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[Algorithm]힙정렬 알고리즘(C++)

category Algorithm/정렬알고리즘 2018. 5. 30. 14:47

힙정렬은 시간복잡도가 nlogn 으로 퀵정렬과 병합(합병)정렬과 같은 시간복잡도를 가진 정렬 알고리즘이다.


하지만 병합정렬과는 다르게 추가적인 메모리가 필요하지않고, 항상 nlogn의 정렬 성능을 보여주기때문에 최악의 경우 n^2 의 성능을 보이는 퀵정렬보다 안정적인 성능을 보인다.


힙정렬은 힙의 구조에 대해 알고있으면 생각보다 간단한 정렬이다.


힙정렬을 알아보기전에 힙(Heap) 에 대해 간단히 알아보자.



힙(Heap)


힙 트리 라고도 하는 힙은 완전이진트리 형태의 자료구조이다.


완전이진트리


노드를 삽일할때 왼쪽부터 차례대로 추가하는 이진트리(모든 노드의 차수가 2이하로 구성된 트리)

위와같은 트리가 완전이진트리이며(각노드의 왼쪽부터 채워진 이진트리) 아래는 그냥 이진트리.


힙에는 최소힙최대힙이 있으며 최소힙은 부모노드의 키값이 자식노드의 키값보다 작을때, 그반대가 최대힙이다.



그리고 힙은 일반적인 배열로 표현 할 수 있다.

a = {-1,3,4,5,1,7,2,8} //a[0]은 pass

이라는 배열이 있다.(a[1]부터 시작한다.) 루트노드는 항상 a[1] 번째일때 힙트리를 보면 다음과 같다.

각 노드의 자식노드는 다음과 같다는것을 알 수 있다. (단, root가 1번째 배열부터 시작할때이다. 0번째 배열부터면 +1추가해줘야 식이성립함)


※부모노드 = i / 2 (i>0)         ( ex. A[3]의 부모노드 = A[i/2] = A[1.5](정수형) = A[1] )

※왼쪽자식노드    = i * 2       ( ex. A[3]의 왼쪽 자식노드 = A[i*2] = A[6] )

※오른쪽자식노드 = i * 2 + 1  ( ex. A[3]의 오른쪽 자식노드 = A[i*2+1] = A[7] )


이같은 규칙때문에 배열로봐도 힙구조가 나온다.

       A[1] A[2] A[3] A[4] A[5] A[6] A[7]
{  -1 , 3 ,  4 ,  5 ,  1 ,  7 ,  2 ,  8  }

힙에대해 알아보았따..



그럼이제 힙을이용해 정렬을 하려면 이 힙을 최소힙이나 최대힙으로 만들어주어야한다.


힙정렬의 원리는 최소힙이나 최대힙이 되었을때 root 는 항상 힙에서 최대값 또는 최소값이 나오게되어있다. 이때 root 를 힙의 마지막 노드와 교체한 뒤 힙의 마지막을 제외한 힙으로 다시 최소힙이나 최대힙을 구성하고 나온 root(최소값 또는 최대값) 을 마지막 노드와 교체하는 방식으로 정렬을한다.


힙정렬 의 순서를 요약하여 살펴보면


1. 정렬되지않은 배열 생성

2. 최소힙 또는 최대힙 구성

3. root 를 마지막노드와 교체

4. 2~3 반복


간단하다.


힙정렬을 구현하는 C++ 코드를 보며 설명하겠습니다.

메인에서 배열을 입력받아 힙정열을 하는 전체 코드입니다. (최대힙)


review


먼저 배열을 입력받은 뒤 최대힙을 구성합니다. 6번라인 heapify(int i)

void heapify(int i)
{ 
	int cur = 2 * i;

	if(cur < n && heap[cur] < heap[cur 1]) cur  ;

	if(heap[i] < heap[cur])
	{
		swap(heap[i],heap[cur]);
		if(cur <= n/2) heapify(cur);
	}
}

노드의인덱스를 받아 자식노드와 비교하며 최대힙을 구성합니다. 때문에 main에서 배열 전체크기/2 부터 받아 루트까지 검사합니다.

보라색친 부분만 heapify함수로 힙을 구성하면 됩니다. A[4] 부터는 자식노드가 없기때문에 따로 힙구성을 할 필요가 없습니다.


heapify함수에서 노드인덱스를 받으면 int형 커서에 왼쪽자식인덱스를 저장합니다. 왼쪽자식인덱스를 구하는 방법은 노드인덱스 * 2입니다. (root가 1부터 시작이기때문)


그리고 오른쪽인덱스값(왼쪽인덱스값+1) 과 비교하여 큰값을 cur에 저장하고 root인덱스값과 비교하여 큰값을 root로 올리는 작업을 합니다.


그리고 값이 바뀌었다면, 커서가 보고있는 노드의 자식노드에 대소관계가 변경되었을수도 있기때문에 재귀로 커서를 넘겨 재구성을합니다. (if(cur <= n/2) heapify(cur);)



다음 배열이 최대힙으로 구성이되었다면 정렬을 수행합니다. heapsort(int i)

void heapsort(int i)
{
	swap(heap[1],heap[i]);

	int root = 1;
	int cur = 2;

	while(cur/2<i)
	{
		cur = 2*root;
		if(cur < i-1 && heap[cur] < heap[cur 1]) cur  ;
		if(cur < i && heap[root] < heap[cur])
			swap(heap[root],heap[cur]);

		root = cur;
	}
}

최대힙으로 구성이된 배열을 루트노드와 마지막노드와 값을 바꿉니다.


그럼 루트노드에는 최하단 자식노드 값이 들어오게 되기때문에 커서를 루트노드의 왼쪽자식노드로 두고 최대힙을 구성을 합니다.


이과정을 루트노드만 남을때까지 진행하면 오름차순 정렬이 완성됩니다.


댓글을 달아 주세요

  1. 2019.11.03 15:58

    void heapsort(int i)
    {
    swap(heap[1], heap[i]);

    int root = 1;
    int cur = 2;

    while (cur/2<i)

    에서
    while (cur/2<i)
    이부분을
    while (cur<i)
    이렇게 하면 안되나요?